Формула и пример расчёта
Вероятность хотя бы одного успеха = 1 − (1 − p)ⁿ.
Пример
При вероятности 10% в каждой из 10 независимых попыток: 65,13%.
Условия расчёта
- Попытки должны быть независимыми и иметь одинаковую вероятность. Вероятность исхода не является гарантией.
Проверьте независимость попыток
Модель предполагает, что вероятность успеха в каждой попытке одна и та же, а исходы независимы. Вероятность вводится в процентах, число попыток — целым положительным числом.
Если после каждого исхода меняется состав набора, правила или вероятность, формула может не подойти. Например, извлечение предметов без возвращения обычно создаёт зависимость между попытками.
Удобнее считать отсутствие успехов
При вероятности успеха p вероятность неудачи равна 1 − p. Вероятность всех неудач в n независимых попытках — (1 − p)ⁿ. Вычитая её из единицы, получаем вероятность хотя бы одного успеха.
«Хотя бы один» включает один, два и больше успехов. Это отличается от вероятности ровно одного успеха, для которой требуется другая формула.
Пример десяти попыток
При 10% на каждую попытку вероятность неудачи 0,9. Для десяти попыток вероятность всех неудач — 0,9¹⁰ ≈ 0,348678. Поэтому вероятность хотя бы одного успеха — около 65,1322%.
Ожидаемое число успехов равно n × p = 10 × 0,1 = 1. Это среднее по многим таким сериям, а не обещание одного успеха в каждой серии. В отдельной серии возможны и ноль, и несколько успехов.
Почему проценты нельзя просто складывать
Десять попыток по 10% не дают гарантию 100%. События «успех в первой попытке» и «успех во второй» могут произойти одновременно, поэтому простая сумма повторно учитывает часть исходов.
При p = 0 результат нулевой; при p = 100% хотя бы один успех гарантирован в рамках модели. Для промежуточной вероятности конечное число попыток обычно оставляет ненулевой шанс отсутствия успехов.
Частые вопросы
Можно ли считать зависимые события?
Без независимости общий шанс может отличаться. Меняющиеся условия попыток требуют иной модели.
Почему ожидаемое число успехов дробное?
Это среднее для большого числа серий, а не исход одной серии. Реальное число успехов в серии целое.